决胜21点

影片《玩转21点》从题材上来说还是很吸引人叻，我自己有段时间也研究过21点，所以我要从专业角度给你讲解影片中关于算牌叻原理以及影片中关于算牌叻一些错误。
为啥子21点可以算牌呢？21点中一局结束后，发过叻牌将不再被使用，所以前面出现过叻牌对后面叻牌产生影响，也就是条件概率叻问题。
21点理有两种方法，算十法和高低法。影片中讲述叻是高低法（High-Low），高低法是由算十法演变过来叻。
高低法中，讲2，3，4，5，6记作+1点，7，8，9算作0点（也就是说，对点数不产生影响），10，J,Q,K,A算作-1点。当出现一张2-6其中叻牌，点数增加1；反之，出现10，J,Q,K,A中一张牌，点数减少1.
点数越大，对玩家叻优势越大，也就是说，玩家获胜叻概率越大。点数每增加一点，玩家获胜叻概率就增加0.5%。
在21点中，毫无疑问，庄家是占优势叻，赌场显然不可能让你赢钱噻。但是赌场叻优势到底有好大捏？？在你完全运用基本策略（Basic Stratigy）最大限度叻把庄家叻优势降低到0.5%。
基本策略这个词，影片中叻女主角跟男主角在衣店叻时候提到过。所以，玩家优势=（点数-1）*0.5%，点数越高，玩家优势越大，应该下更大叻注
那么，在点数确定叻情况下，又应该下多大叻注呢？？这里有个下注方法：
单次下注=本钱*玩家优势

现在，我要讲哈影片中关于算牌叻一些错误
首先，影片中没有考虑切牌叻问题。在赌场中，发牌员的牌有很多副牌，当牌发到一定数量叻时候，发牌员会切牌，也就是说剩下叻牌讲不再发，而重新启用新牌。这种情况下，点数将回归到0点，而算牌手不得不重新开始计点数。当点数足够大时，算牌手再下大注。然而，影片中完全没有考虑这个问题，你看到男主角坐上一张座子就没离开过。
其次，影片中没有考虑剩余牌叻数量。通过前面讲叻算牌法，玩家可以计算点数，从而计算获胜概率。然而，影片没有考虑平均点数这个概念。在点数一定叻情况下，剩余叻牌越多，平均点数越小，玩家实际上叻优势越小。尽管点数确实很大，然而如果剩余叻牌很多叻话，相当于点数被太多叻牌稀释掉咯。如果算牌手不考虑平均点数叻话，很可能被点数所误导，误以为获胜概率大，下大注，然后输钱。
还有最后一个问题，算牌叻利润空间其实是很小叻，很难让算牌手过上影片中那样奢侈叻生活叻。因为即使玩家占优势，也不代表玩家就一定赢钱。举个例子，如果点数为10，玩家叻优势就为4.5%，也就是获胜叻概率比50%多一点。在这样叻优势下，你每次下注100块，玩上一百次才能获利450块。而显然，玩上一百次则要碰到很多次切牌，很多次叻重新计算点数，增加咯算牌手叻困难。

关于电影里那个有名的概率论的问题，之所以很多人认为是错的，那是因为被自己的直觉误导了。
其实我们可以来计算一下，参赛者在主持人第二次询问是“坚持自己的选择”还是“更换选择”两种情况的胜率。
设事件“不换”胜率为P1，事件“更换”为P2。
“不换”获胜的条件很简单，就是第一次就抽中羊，所以P1=1/3=33%。
“更换”获胜的条件也很简单就是第一次抽中羊，因为主持人会打开另一扇后面是羊的门，所以就只剩下车子了。所以第一次无论抽中哪只羊都无所谓，P2=2/3=66.7%。
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以上的计算人家已经算过了，我们来算点不一样的。
现在我们给题目加上一只羊，也就是一共有4扇门，后面是一辆车，三只羊。主持人同样在参赛者选择一扇门之后，打开一扇有羊的门，再问参赛者是坚持“不换”，还是“更换”。同样设为概率P1、P2。
P1=1/4----（第一次抽中车）
P2=3/4(第一次抽中羊)*1/2(在剩下的两扇门里选中羊)=3/8
至于为什么剩下两扇门应该不用解释吧，第一次选了一扇，主持人排除了一扇，所以剩下4-2=2扇。
P2>P1，所以应该“更换”。
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如果再加一只羊，也就是1车，4羊。
P1=1/5=3/15
P2=4/5*1/3=4/15
P2>P1，所以还是要”更换“
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加了很多很多羊之后，总共有N扇门，其中车1辆，羊N-1只。
P1=1/N
P2=(N-1)/N * 1/(N-2)=(N-1)/N(N-2)
P2-P1=(N-1)/N(N-2)-1/N=(N-1)/N(N-2)-(N-2)/N(N-2)=1/N(N-2)>0
所以P2>P1，需要”更换“。
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我已经很无聊了，有没有人在此基础上再加几辆车什么的！！！

这个电音很赞啊，男主很帅，女主差点但也不错。看了别人写的分析二十一点的记牌算法很受启发。但心中还是有个疑问：如果玩家按照最优的决策方案玩牌，在不计牌的冷热情况下，玩家的胜率究竟是多大？会是50%么？为此写了一个小程序做了下模拟运算。

（这个分析不考虑桌面已有牌对于后续牌的影响，也就是说假设新出的牌从A到K出现的概率都是1/13，同时还假设当双方同时出现21点的情况时，玩家获胜）

首先定义“正确的决策方案”。当玩家手中的牌达到12点及以上时，玩家就要开始做出选择，究竟继续叫牌还是停止。

在N点上停止抓牌获胜的概率是：庄家在N点及以下所有点数抓爆的概率总和。比如玩家有14点，并停止抓拍，他获胜的可能就是：庄家在12点抓爆的概率+13点抓爆的概率+14点抓爆的概率

在N点上继续抓牌（只抓一张）获胜的概率是：玩家抓到每张不会冒的牌a的概率乘以庄家在N+a点及以下抓爆的概率。比如庄家在14点时选择继续抓牌，他获胜的概率是：
（玩家抓A的概率*（庄家在15点抓爆的概率+玩家在14点抓爆的概率））+
（玩家抓2的概率*（庄家在16点抓爆的概率+玩家在15点抓爆的概率+庄家在14点抓爆的概率）+……+
（玩家抓7的概率*（庄家在21点抓爆的概率+玩家在20点抓爆的概率+……+玩家在12点抓爆的概率））

在这里，庄家在N点抓爆的概率的含义是：如果庄家一直抓牌，直到抓爆为止，在抓爆之前的点数为N。N为特定数出现的概率为多少。这个数值可以通过计算机模拟运算近似生成。通过一千万次模拟，得出的结论是：
N = 12: P(12) = 0.030543
N = 13: P(13) = 0.0438322
N = 14: P(14) = 0.0569275
N = 15: P(15) = 0.0711665
N = 16: P(16) = 0.0864059
N = 17: P(17) = 0.102366
N = 18: P(18) = 0.1193312
N = 19: P(19) = 0.1372943
N = 20: P(20) = 0.2131834
N = 21: P(21) = 0.13895

注：当庄家出现21点时，仍然需要抓牌，表示此时玩家已经出现21点，庄家已经必输。在所有抓爆的情况中，在21点处抓爆的概率为12.895%

利用以上的数据，根据上面的公式可以分析出最优的决策方案：

if you get 12 and you stop, your chance to win is 0.0304902
If you get 12 and you continue, your chance to win is 0.31595218

if you get 13 and you stop, your chance to win is 0.07414
If you get 13 and you continue, your chance to win is 0.23902911

if you get 14 and you stop, your chance to win is 0.1311739
If you get 14 and you continue, your chance to win is 0.17278956

if you get 15 and you stop, your chance to win is 0.20239449
If you get 15 and you continue, your chance to win is 0.12294503

if you get 16 and you stop, your chance to win is 0.28873807
If you get 16 and you continue, your chance to win is 0.083663836

if you get 17 and you stop, your chance to win is 0.39118338
If you get 17 and you continue, your chance to win is 0.053572804

if you get 18 and you stop, your chance to win is 0.5106556
If you get 18 and you continue, your chance to win is 0.031362183

if you get 19 and you stop, your chance to win is 0.6479789
If you get 19 and you continue, your chance to win is 0.015793376

if you get 20 and you stop, your chance to win is 0.861114
If you get 20 and you continue, your chance to win is 0.0057030767

if you get 21 and you stop, your chance to win is 1.0
If you get 21 and you continue, your chance to win is 0.0

由此可知，当玩家手里的牌小于15点时，需要继续叫牌，否则停止。

最后是再次进行模拟，找到依据最优决策方案得到的获胜概率。

模拟的次数依然是一千万次，最终的结果是：

if you followed the right method, your chance to win is 0.45998985

也就是说，玩家正常的胜率只有46%。如果按照电影中的算法，算牌的点数每增加一点，玩家获胜的概率增加0.5%，那么点数至少需要达到8点以上才能算是热牌。然而即使点数达到了18点超级热牌，玩家的胜率也只有55%，呃。。。所以说靠技术赚大钱还是很难的。

DVD信息：4S，SONY蓝光转D9
花絮：无

首先，这素一张裸碟，其次，买碟的时候我对这部片子完全没有概念。上网翻了资料才知道这是一度的票房大热门。说实话我对商业片不敏感，对明星同样不敏感，大概能认出来的不超过20个——不包括本片里的凯文·斯派西。好吧，我想说的是这部片子完全不用动脑子，但是还是要动脑子的……不过鉴于有诸多影评热衷于讨论影片中的数学问题，我这个高中数学都搞不定的人就不多嘴了。

斯派西的片子此前看过《Shipping News》，《美国美人》买了4年多都没看。其他的小朋友们更别说了。觉得影片的剧作有点意思，首先，这个故事的原型显然是《化身博士》，双重生活和双重身份，以及最后必然的毁灭结局——这个片子里毁灭的是教授。其次，片子真正的翻盘之处在于主角小本的那两个胖子兄弟，而不是在于诸如硬币巧克力或者设局，导演在这儿让我小小地享受了一下。

另外要说的是，这部片子实在是很宅。套用著名编辑黑小猫的说法，宅是“卖弄大家都不愿意去懂的东西”，至少我对柯西的八卦没有任何兴趣——嗯高数也是我的惨痛回忆之一，这是数学宅男们的密码。但是这一处宅点让第二场教室的戏变得很有张力。另外，Jim Sturgess长得的确像个俄国人，他的那个假名，弗拉基米尔什么的，如果真的是柯西的学生，那就太有趣了……

出字幕的那个镜头很有趣。从模型飞机大航拍转180度到一个跟拉，推测是两个镜头拼起来的。别的我还真想不到什么有意思的镜头了。就这样吧。

总评：
花絮：0
可看性：7
艺术性：0

延伸阅读：Ben Mezrich "Bringing Down the House: The Inside Story of Six M.I.T. Students Who Took Vegas for Millions"（原著。囧，当当竟然有卖的……）

很适合休闲的时候观看的影片，虽然是用高智商的作弊说事，但是其实并没有深入讲解，所以不理解也不影响什么。而且片子本身好像也就不打算用技巧说事，它只是粗略的讲了一个nerd如何变成某种程度的prince charming的故事。
片中唯一真的涉及到概率计算的问题就是开篇的那个车或者羊的选择题。
个人同意片中的计算结果，换了弄到车的概率更高。但是，解释的方式不太一样。
我的考虑过程是这样的：
首先第一次选择，选中羊的概率是2/3，而选中车的概率是1/3，这是显而易见的。
然后主持人打开了一扇后面有羊的门，现在只有两扇关着的门，主持人让选手做第二次选择，是不是把刚刚选择的门换成另一扇。
这个时候，选手刚开始选择的情况只有两种，
第一种，如果第一次选择了车，那么换掉，车就没有了，这种可能性是1/3.这个时候不换就能得到车。
第二种，一开始选择了羊，而主持人开启的门后面也是羊，所以这个时候换的话，只有一扇门可以选，那扇门后面就是车，换的话一定会换到车，而这种情况发生的概率就是2/3.
所以综上所述，换掉得车的概率是2/3，不换就是1/3。
但是这个概率其实并不是单纯的“换”这个动作决定的，而是取决于选手第一次选择了什么。
其实是第一次的选择决定了后面是车还是羊，不管之后做出了什么决定，都会和第一次的选择有关系。
就像主人公走过的路，如果他一开始经得起诱惑，不去参加那个21点团队，而是老老实实的完成那个2.09的项目，他说不定可以通过赢得比赛拿到奖学金。而不会在赌城作弊（个人觉得片子里的做法虽然没有在赌具上做文章，但是确实算得上作弊了，因为他们是在团队合作，而且没有让赌场知道，这应该已经算是作弊了。）被揍，还几乎没赚到钱。
但是概率就是这样，它是对于个体意义并不大的东西，如果有3000个人玩这个游戏，那么如果大家都换，就有可能2000个人拿到车，1000个人拿到羊，这就是概率的胜利，但是那2000辆别人的车永远也不会让牵着羊的1000个人心情好起来。
所以对于只能玩一次游戏的人，你不会知道你是不是就是第一次就选中了车的那个少数的“幸运”家伙，所以就算是换这个动作把拿到车的概率增加到99%，你也可能成为1%的那个。
所以就算是他留下来参加比赛，他也不一定能够夺得冠军，也不一定会真的重视他身边的朋友，也说不定依然会觉得nerd是个让他抬不起头的身份。赌城虽然没有让他赚到钱，但是他确实得到了说得上“闪光”的经历，而这些经历比现金更有价值。
影片的开头和结尾，都是主人公坐在奖学金评审的面前说着自己的简历，但是你能发现发生在主人公身上的变化，这就是电影想表达的东西吧，就像那个凯文扮演的教授说的，你永远得把变量考虑进去。个人认为，电影最能打动人的，就是能在短时间内体现一个变化的过程，而这个过程如果是正向的，那就更容易让人接受。
回到车或者羊的那个选择，其实怎么做都不可能保证你能拿到后面的那辆车，就像每一次做选择的时候，无论考虑的多么周全，也不可能把所有的问题考虑进去，周密的思考只是能在某种程度上降低犯低级错误的概率，而不能避免犯错误。其实只要是有不能实现确定的变量存在的东西，就是某种意义上的赌博，只是有的时候赢得机会大有的时候小，有的时候你想全力以赴有的时候你只想碰碰运气。不过无论怎样，都不可能确保胜利，所以也许面对失败是无论如何都得学习的东西。
所以在学开车的时候，说不定可以抽点休息时间同时看看怎样养羊。

我们要面对的事实是：很多人对于概率问题很糊涂。比如现在我告诉受到过一定教育的你们，我扔一个硬币扔了99次，全部都是花朝上，那么你们很自然就会知道，第100次扔硬币仍然是有对半的几率是花或者字。那些认为还是一定花朝上的或者是理解错误（将100次统一起来一起看待，而不是单独的去看待每次）或者是过于敏感，联想到了实质性的其他问题（如果99次都出现花，那么硬币肯定重量不平均）

但是有些概率问题就更加令人头疼了。其中一个著名的问题就是Monty Hall问题（就是21点里面的那个三个门问题），虽然题面有些不同，但都具有下面三个特征。

有三个门让你选，一个门后面是车，另外两个是羊（或者什么都没有）。主持人知道车在那个门后面。
你先选择一个门。
主持人打开另外两个门中的一个，里面是羊（或者什么都没有）。（主持人肯定会打开没有车的那个门）
主持人问你要不要改你的选择。
问题是，你要不要换一个选择。答案很明确，换一个选择更好。（我们可以很容易地通过重复这个场景来印证这个答案）。但是很多人理解不了这个问题，坚持说无论换不换选择，正确率都是一样的。
说明图
现在令我最着迷的并不是哪个是正确答案，而是如何向那些不能理解的人来解释这个问题。我在此也尝试通过从语言文字和数字的角度来通过下面几种方法解释这个问题：

解释1：

（这是最基本的解释，但是即使得到认可，有时候也没办法改变他们原有的逻辑想法）

我们的选择有三个可能性，概率一样。比如你选择了A：
1）车在A（不变选择获胜）
2）车在B，主持人打开了C（变选择获胜）
3）车在C，主持人打开了B（变选择获胜）

变选择的获胜可能性大。


解释2：

一个理解方法是，主持人打开的是你没选择的两个门中的一个。你可以将另外两个门统一作为一个选择来看待。

例如在ABC三个门之中你选择了A。如果你选择错误，那么无所谓车是在B或者C哪个门后面，如果在B那么主持人打开C，如果在C，那么主持人打开B。但无论如何，车都是在B或者C后面。所以从“选错”的角度来说，你第一次选择A更可能错误。所以如果为你排除了B和C中的一个之后，改变你的选择会比较好。

解释3：

这个问题归根到底还是个数学问题，如果我们能从整体方面来观察整个事件就会更好地理解。门后面的东西是不会变的。所以你对于这个问题不能简单的用你的数学“逻辑”把选择几率在打开一个门之后平均为50-50。车在游戏开始的时候就已经确定了位置。车在哪个门后面的几率绝对不会由于你打开了随便哪个门之后而发生改变。

认为几率是50-50的人是将这个场景看成了“另一种”情况。如果你把奖品放到两个门后面，那么要想选中，确实是50-50的几率。但奖品实际在你选择“之前”，已经在那里了。

从另一个角度来说：可能性指的是随机的事件，不是事实。在这个问题中，随机事件是指车和羊（或者什么都没有）是在ABC哪个门后面。打开随便一个门，无论门后是什么，都不会改变每个门后面是什么物品的事实。


解释4：
不考虑主持人的用词的情况下，主持人问你的问题给你带来的思考是非常不一样的。本来的问题是选择正确的门，这很难，是3选1。我们不要认为主持人的问题一定是和之前一样“哪个门是正确的？”而是要想他会问你“你现在的选择是错误的么？”

所以，你现在明白了么？

郑小不的话：
其实这篇解释是一个循序渐进的解释，从基本的摆事实，逐渐到讲道理。目的是修正你的逻辑问题或者让你少走弯路

关键词：学历VS经历

影片的开头就宣扬了经历比学历重要的理念
GPA满分 医学院预科生 美国数学协会的会长 知名教授的助教 面试官好友热情推荐 等一系列瞠目结舌的简历都没镇住哈佛奖学金申请面试官 人家漫不经心的甩过来一句：
我们看重的是人的与众不同 而唯有不凡的人生经历才能让你脱颖而出 So What is going to dazzle me?

影片的结尾 你可能会唏嘘感叹 忙了半天一分钱都没捞到
但是正是这份特殊的人生经历成为BEN最宝贵的财富
他最终赢得了自己需要的30万美元奖学金

小结：经历证明能力


关键词：学校VS社会

一个是淳朴贫穷的三好学生 一个是叱诧风云的赌神
BEN完成了从GEEK到POPULAR的转变
BEN在这两种身份中 体会了两种生活方式 体验了两种人生

学校和社会真的是两个世界 初入社会的学生应该体会最深了吧
学生从学校走向社会面临的不仅是身份的转变 更加是生活方式的转变
从单纯乌托邦的世界转变为尔虞我诈物欲横流的世界
这个世界没有束缚没有教条 这个世界你可以为所欲为
同时这个世界充满欺骗 危险和陷阱 稍不留神就会万劫不复

学生的任务是学习
而进入社会的任务是赚钱
BEN从三好学生变为赌神

学校是单一的 乏味的
社会是丰富多彩的 充满诱惑的
学校里只能啃书本的BEN 周末里却可以西装革履 灯红酒绿 纸醉金迷

学校是相对单纯的世界
社会是十分现实的世界
学校是可以让你看到人们好的一面 善的一面
社会是可以让你看透人们坏的一面 阴险 狡诈的一面
学校人际关系简单 竞争手法只限于学习成绩
社会人际关系复杂 尔虞我诈 为了利益不择手段 让人防不胜防
Mickey可以是衣冠楚楚的数学老师 也可以是谋取暴利的赌博团头目
他可以当面许诺你15%的分成 也可以在背后揭发你甚至拿走所有的盈利

社会可以象一个大染缸会渲染你;也会象一个带导火索的火箭引领你到达毫无人迹的太空世界

小结：学校是简单的 社会是复杂的


关键词：价值观

无论你在学校里成绩多么好 一旦你走出了学校 走进了一个不以分数作为主要衡量标准的环境中 你就会发现一个人的最终价值是由他所创造的社会价值来衡量的

两种身份的叠加换来的是两种价值观的碰撞
学生用什么实现自我价值？ 成绩 智力
社会人用什么实现自我价值？ 权力 名利 财富
显然前者是单纯和高尚的 后者是邪恶和诱惑的
这也是很多初入社会的天之骄子面对社会现实的迷茫和无力的原因之一
昔日引以为傲的GPA，学历证书马上变得一文不值
人的自尊心 成就感 自负瞬间消失
虽然BEN成绩优异 但是面对昂贵的学费还是感到现实的无力
昔日以设计机器人为荣 而今却可以对朋友说‘I DON'T CARE'
这就是价值观的转变

小结：不同的的世界有不同的价值观


关键词：人性
学校到社会的转变无疑是窥探人性最佳过程
人性即人性的弱点
人性的弱点之一就是经不起诱惑
而社会上的诱惑就太多了 比如名利 财富 异性 成就感
这个几点在电影中都有涉猎
但正如真实故事中Jeff Ma说的 他去赌博的最终原因不是金钱，而是那种年轻就能“征服世界”般的成就感。
对年轻人来说 成就感的诱惑实在太大了 大到可以轻易改变一个人

BEN加入MIT21的主因就是為了30万学费 他入团前就一再声称一旦赚足30万就立刻退出 他不贪钱 只是缺钱 更不想赚不义之财 姿态鲜明 理念清晰 十分符合大学生清纯清高的形象 但是身份转变之后BEN却陷入了迷茫和失控

成功容易让人膨胀 成功让人自以为是 每天忙着迎接新的挑战与考验 习惯成功带来的名利掌声 因而就忘记了自己的初衷与始意 这是古往今来从来不曾改变的基本人性 不只是权力让人腐化 名利财富也同样悄悄侵蚀着曾经清高的身影 吞噬了曾经标榜的理念

有一个场景很好的阐述了BEN的心理转变过程
BEN搞砸了机器人遥控器 朋友说，你心思已经不在这上面了
BEN恼羞成怒 说，反正我已经不在乎了
这个价值观心理转变说明机器人设计比赛对于BEN来说已经远没有赌博来的重要 即名利财富成就感超越了学术比赛
但实际上这次价值观冲突事件是给其心理带来挫败感的
事实上BEN内心并没有完全接受这种转变 他一方面认为自己现在的身份 生活方式 能力已经超越了过去 另一方面对这些优势有着强烈的不安全感 这一点在后来一局中的赌气表现很好的反应出来 很多人认为BEN在看到同伴的离开提醒后继续玩牌是贪欲所致 其实不然 他是在赌气 他想用赢牌的成就感来排遣内心挫折感 以此完成价值观的完全转换 可惜游戏规则不会因为他的赌气而照顾他 结果他输了 之后BEN怂恿其他成员脱离老师单干也是这种情绪的延续 其实很想知道 如果数学老师不打那个电话 告发BEN 这个故事是否又会是另一个结局 谁也不能保证21小组脱离老师就一定会输
之后的故事发展就相对和谐了 BEN在失去了钱 朋友 甚至差点被开除之后 现实的复杂 无情和残酷让BEN价值观被重新洗牌 最后在精心策划下BEN帮助赌场管理员抓住了Mickey 也算为自己报了仇 BEN找到了之前翻脸的好友 和好如初 他的身份又回归到了普通学生

这是一场梦幻的历险 这是一段罕有的经历 这是一次独一无二的成长

PS 电影 剪辑流畅 特效炫目 故事诱人 人物丰满 思想励志 耐人寻味 实在是商业青春片集大成之作 喜欢此类电影的朋友不要错过